Matematicas: octubre 2011

Resumen
Se comentan las ampliaciones de las conjeturas usadas para la demostración del
teorema de Fermant, como la de Taniyama - Shimura y la de Langlands. Parcialmente,
estas conjeturas, fueron demostradas por Wiles al tratar el teorema de Fermant. Se dan
ejemplos simples.
Conjetura de Taniyama - Shimura (T-S) : En un trabajo anterior [1] donde explicamos
algunos elementos de la demostración del Teorema de Fermat por Wiles, ya introducimos
algo sobre la conjetura de Taniyama - Shimura (T-S). Esta conjetura dice que todas las
curvas elípticas son modulares. Una curva elíptica tiene la forma.
y x A x Bx C
2 3 2
= + + + (1)
donde las constantes A, B y C y las variables toman valores sobre los números reales. En
la teoría de números se buscan las soluciones racionales. La conjetura T-S es que estas
soluciones se obtienen de las funciones modulares, que en algunos casos son inversas a las
funciones elípticas [1]. Pero que en general son invariantes para una transformación del
tipo z' = az + b/cz + d, z, z' números complejos o sea que tienen dos períodos en el plano
complejo. Daremos un ejemplo de como un método geométrico puede usarse para un
problema de la teoría de números. La ecuación:
x
2
+ y
2
= z
2
(2)
es un caso especial de la (1), puesto que si dividimos por z
2
y llamando de nuevo a los
cocientes
z
y
e
z
x
x e z y se tiene:
x
2
+ z
2
= 1 (3)
Si buscamos las soluciones enteras de la ecuación (2) es lo mismo que buscar las soluciones
racionales de (3). Conocemos una solución racional la (x = 1, y = o) mostraremos como de
allí se pueden deducir otras, en este caso todas las soluciones. La recta que pasa por (1,0)
tiene la ecuación (Fig. 1) :Fig. 1: Toda recta que tenga pendiente racional
n
m
y que parta de un punto pitagórico, corta
al círculo x
2
+ y
2
= 1, en otro punto pitagórico.
h = k (x - 1) (4)
donde k es la pendiente. Calculemos la intersección de la recta (4) con el circulo (3),
reemplazando h de (4) en (3).
x
2
+ k
2
(x - 1)
2
= 1 (5)
Desarrollando 5 se tiene:
x
2
(1 + k
2
) - 2 k
2
x -1 + k
2
= 0 (6)
Esta ecuación de segundo grado tiene las soluciones:
1
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2 2
2
+
= - = -
+
-
=
+
±
+
=
k
k
k
k
k
k k
k
h (x )
x
(7)
-1.5 - 1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1.5
- 1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
y
( , )
13
12
13
5
PC -
3
2
3
2
y = - x +
n
m
x
n
m
y = - +
2 2
2
m n
mn
y
C
+
=
2 2
2 2
m n
m n
x
C
+
-
=Es fácil ver que x
2
+ h
2
= 1 y que h tiene dos signos + y -. Como k es un número racional
negativo para que h sea positivo y cociente de dos enteros
n
k = - m y la solución es :


2 2
2 2
2 2
2
m n
m n
m n
m n
+
=
+
-
=
h
x
(8)
Recordando que x es el cociente
z
x
y h el
z
y
se tiene:
x = m
2
- n
2

y = 2 m n (9)
z = m
2
+ n
2
Las fórmulas (9) contienen todas las soluciones de la ecuación (2) expresadas como
números enteros. Toda solución de la (2) es una generadora de todas las soluciones. En el
caso de las curvas elípticas, la funciones modulares dan los generadores, pero estos no
generan todas las soluciones sino algunas de ellas. El total de las soluciones de todos los
generadores tiene todas las soluciones. En este caso especial hay infinitos generadores y
cada uno genera todas las soluciones.
Curvas elípticas: La curva (1) tiene tres raíces y por lo tanto se puede escribir.
y
2
= (x-a) (x-b) (x-c) (10)
Estas raíces pueden ser reales diferentes a ¹ b ¹ c e R a < b < c, o dos iguales o
tres iguales. Pueden ser también dos imaginarias conjugadas. En la Fig. 2, se ilustra las
formas de las ecuaciones. Para dibujarlas fácilmente se toma en cuenta que la derivada de
(10) es:

2 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
'
2 ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x a x b x c
x a x b x a x c x b x c
y
y y x a x b x a x c x b x c
± - - -
- - + - - + - -
=
= - - + - - + - -
(11)Fig. 2: Cuatro clases de curvas elípticas clasificadas de acuerdo a sus raíces. No todos los puntos son
generadores, por ejemplo, en la curva y
2
= x
2
(x-1), x = 2, y = 2, es una solución racional que genera
la solución trivial x=1, y=0.
- 2 -1.5 - 1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
- 2
-1.5
- 1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
y (x 1) x
2 2
= -
a < b < c
- 1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
- 2
-1.5
- 1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
2 3
y = x
a = b = c
- 1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
- 2
-1.5
- 1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
( 1)
2 2
y = x x +
a; b = z, c = z*
0 0.5 1 1.5 2
- 2
-1.5
- 1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
y
( 1)
2 2
y = x x -
a = b < c
·
Puntoaislado
En estas curvas una solución puede generar otras por el método de interceptar una
tangente a la curva en un punto que es solución de la ecuación, con otra rama de la misma.
Un ejemplo sencillo se obtiene con la curva:

2 3
y = x (12)
a = b = c = o
Una solución es = 1, = 1,
o o
x y , la tangente en ese punto vale:

2
3
1
2
3
2
3 2
1
1
2
3
= = +
= + =+
-
'( )
'
y x
y x x
(13)
La ecuación de la tangente que pasa por ese punto es :
( 1)
2
3
y - 1= x - (14)
La interacción de la recta (14) con la 12 da :

2
2 3
( 1
2
3
1
ú
û
ù
ê
ë
é
y = x = + x - (15)
Luego la x esta determinada por la solución a la ecuación cúbica:
0
4
1
2
3
4
3 9 2
x - x + x - = (16)
Una solución es
4
1
x
1 = y por lo tanto
8
1
1
y = - . Los valores
4
1
x
1 = ,
8
1
1
y = - son
soluciones racionales de la curva elíptica (12) generadas por la solución =1, =1. xo yo
Es
fácil ver que otra solución generada por
8
, 1
4
1
1 1
x = y = - es solución si la ecuación :
0
2
1
2
3
2
9
5 8
2
4
3
x - x + x - = (17)la tiene. Efectivamente, la ecuación (17) tiene la solución
1 2 6
3
2 2
4
2
2
1
2
1
2
1
x = y y = ± x = ± =
Así que la solución =1, = 1
o o
x y engendra una serie de soluciones del tipo (Fig. 3):
Fig. 3: El generador = 1, = 1
o o
x y produce una serie de soluciones racionales
a la curva elíptica
2 3
y = x .

n
n
n n n
o o
x y
x y
x y
x y
2 3
2 4 2 6
1 2 1 3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1 1
( )
,
..................................
,
,
,
-
= =
= =
= = -
= =
(18)
-0.5 0 0.5 1 1.5
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
y
( , )
o o
x y
( , )
1 1
x y
( , )
2 2
x y
64
1
8
1
8
1
4
1
1 1
2 2
1 1
= =
= = -
= =
x y
x y
x y
o o
,
,
,La solución general de la ecuación (12) es:

2 3
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷ = ±
ø
ö
ç
è
æ
=
n
m
y
n
m
x , (19)
donde m y n son enteros primos entre si. La solución =1, =1, xo yo
genera una serie de
soluciones. Actualmente el único método para predecir los generadores son las funciones
modulares. Wiles demostró [2] que se puede saber si existen generadores para muchas
curvas elípticas. Ahora se supone [3] que se probó se puede saber si existen para todas.
Hay que recordar que la demostración de Wiles del Teorema de Fermat se reduce a
la existencia de soluciones a una curva elíptica y que ella no tiene generadores. Se trabaja
en el campo complejo y las representaciones son en un espacio de cuatro dimensiones. Así
que parece que la conjetura de Taniyama - Shimura fue finalmente probada y todas las
curvas elípticas tienen funciones modulares que pueden decir si tienen o no soluciones
racionales.
Conjetura de Langlands. Esta conjetura dice que entre las representaciones de Galois y
las formas automorfas (funciones automorfas) hay una correspondencia biunívoca [4, 5].
Las representaciones de Galois muestran las relaciones entre la soluciones de las
ecuaciones que estudia la teoría de los números. En la demostración del teorema de Fermat
Wiles probo parte de esta conjetura. Un cuerpo significa una estructura algebraica en la
que puede definirse dos operaciones que son isomorfas con la adición y la multiplicación
entre números reales. Estas estructuras pueden ser números racionales, números reales o
complejos, funciones como polinomios o cocientes de polinomios, campos locales como
los del tipo número m-adicional 1+ n + n
2
+ ...... Primero se prueba la conjetura para
campos de funciones, luego para campos locales. Así que queda solo para el caso de los
campos numéricos.
La conjetura de Langlands proviene del problema de cómo los números pueden
representarse como suma de productos de otros. Así un problema de Fermat es dado el
número entero primo Z saber cuando puede representarse como suma de dos cuadrados. Por
ejemplo 5 = 2
2
+ 1, pero 7 no puede representarse como suma de dos cuadrados. Por otro
lado Fermant descubrió que los números de la forma 4 n + 1 ( n = 1,2,3,...) que son primos
pueden escribirse como suma de dos cuadrados. La serie de números primos es:
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 53, 59, 61, 67, 71,
73, 79, 83, 89, 97,..... (20)
Los que son de la forma 4 n + 1 pueden representarse como la suma de dos
cuadrados, como se ve a continuación:n = 1 , 4 x 1 + 1 = 5 = 2
2
+ 1
n = 3 , 4 x 3 + 1 = 12 + 1 = 13 = 3
2
+ 2
2
(21)
n = 7 , 4 x 7 + 1 = 28 + 1 = 29 = 5
2
+ 2
2
n = 9 , 4 x 9 + 1 = 36 + 1 = 37 = 6
2
+ 1
n = 10 , 4 x 10 + 1 = 40 + 1 = 41 = 5
2
+ 4
2
n = 13 , 4 x 13 + 1 = 52 + 1 = 53 = 7
2
+ 2
2
n = 15 , 4 x 15 + 1 = 60 + 1 = 61 = 6
2
+ 5
2
n = 18 , 4 x 18 + 1 = 72 + 1 = 73 = 8
2
+ 3
2
n = 22 , 4 x 22 + 1 = 88 + 1 = 89 = 8
2
+ 5
2
n = 24 = 4 x 24 + 1 = 96 + 1 = 97 = 9
2
+ 4
2

.....................
Esta propiedad es periódica en 4, porque si a cualquier número de la serie 21 se le
suma 4 la propiedad se mantiene. Esta propiedad es invariante para la traslación 4. Los
primos de la forma 4(n + 1) + 1 son suma de dos cuadrados. Otra propiedad que encontró
Fermat es que los primos de la forma 4n + 3 no son sumas de cuadrados y es también
invariante para una traslación 4. Estos problemas que dan estas propiedades con períodos,
tienen una ley probada por Emil Artin en 1927. Pero en el caso de esquemas complicados
pudieron tocarse con la conjetura de Langland que estableció una correspondencia entre las
formas automorfas y las matrices n x n (4). En su demostración del teorema de Fermat,
Wiles demostró esta conjetura para matrices 2 x 2 con números 0, 1 ó 2

Biografía:

Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, Francia, 17 de agosto de 1601;¹ Castres,Francia, 12 de enero de 1665) fue un jurista y matemático francés apodado por Eric Temple Bell con el sobrenombre de «príncipe de los aficionados».²

Fermat fue junto con René Descartes uno de los principales matemáticos de la primera mitad del siglo XVII.

Descubrió el cálculo diferencial antes que Newton y Leibniz, fue cofundador de la teoría de probabilidades junto a Blaise Pascal e independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. Sin embargo, es más conocido por sus aportaciones a la teoría de números en especial por el conocido como último teorema de Fermat, que preocupó a los matemáticos durante aproximadamente 350 años, hasta que fue demostrado en 1995 por Andrew Wiles ayudado por Richard Taylor.

Fermat es uno de los pocos matemáticos que cuentan con un asteroide con su nombre,(12007) Fermat. También se le ha dado la denominación de Fermat a un cráter lunar de 39 km de diámetro.

Matematicas

viernes, 21 de octubre de 2011

Demostraciones

wiles

Ejemplos

teorema pequeño de fermat

Fermat